Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.

Dễ thấy ^BNA = 90⁰. Suy ra BNA ~ BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA 

Cũng dễ có BMA ~ BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK

Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 360⁰ - ^ANM - ^KNM

= (180⁰ - ^ANM) + (180⁰ - ^KNM) = ^ABM + (180⁰ - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA

=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A

=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)

Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)

Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const

Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi

=> Sin^IEL = const hay . Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi

Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).

Cũng ở Thanh Hóa à bạn😗

ta có △ AEB nội tiếp (T) có AB là đường kính -> AE vuông EB hay AE vuông ME 

xét tứ giác OAEM có góc MOA=góc AEM = 90độ → tứ giác OAEM nội tiếp → 4 điểm O,A,E,M cùng nằm trên một đường tròn 

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

MIK CẦN GẤP TRƯỚC 4h T_T

Lời giải:

a. Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AC\perp OA$ hay $AC\perp AB$

Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$

$AB=2R=12$ (cm)

$AC= 5$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$ (cm)

b.

$\widehat{AMB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AM\perp MB$ hay $AM\perp BC$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác vuông $ABC$, đường cao $AM$

$\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{12^2}$

$\Rightarrow AM=\frac{60}{13}$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago:

$MC=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{5^2-(\frac{60}{13})^2}=\frac{25}{13}$ (cm)

$BM=BC-MC=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$ (cm)

Hình vẽ:

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+6^2=61\)

hay \(BC=\sqrt{61}\left(cm\right)\)

b: Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCAB vuông tại A có AM là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BM\cdot BC\\AC^2=CM\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{30\sqrt{61}}{61}\left(cm\right)\\BM=\dfrac{36\sqrt{61}}{61}\left(cm\right)\\CM=\dfrac{25\sqrt{61}}{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)